弦长公式有哪些?弦长公式怎么求?(高中知识)

诗界网络 2025-11-29 00:19:37

弦长公式有哪些?弦长公式怎么求?(高中知识)

在高中数学中，弦长公式是解决与直线和圆、直线和圆锥曲线相交弦长相关问题的重要工具。

常见的弦长公式主要有以下两种：

对于直线与圆相交的情况，若圆的方程为\(x^2 + y^2 = r^2\)，直线方程为\(y = kx + b\)，将直线方程代入圆的方程，得到一个一元二次方程，利用韦达定理求出两根\(x_1\)，\(x_2\)，则弦长\(l = \sqrt{1 + k^2}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}\)。

对于直线与圆锥曲线相交的情况，以椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)为例，直线方程为\(y = kx + m\)，联立方程后，同样利用韦达定理求出两根\(x_1\)，\(x_2\)，弦长\(l = \sqrt{1 + k^2}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}\)，这里的\(a\)、\(b\)是椭圆的参数。

求弦长公式的一般步骤为：首先联立直线与曲线的方程，得到一个关于\(x\)（或\(y\)）的一元二次方程；然后利用韦达定理求出两根之和与两根之积；最后将其代入弦长公式进行计算。

弦长公式在解决直线与曲线相交问题中有着广泛的应用，通过它可以方便地求出弦长，为进一步研究曲线的性质等提供重要的依据。

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