弦长公式是什么?弦长公式的推导过程?

诗界网络 2025-12-01 18:27:37

弦长公式是什么?弦长公式的推导过程?

弦长公式是解析几何中用于计算直线与曲线相交所得弦长的公式。在平面直角坐标系中，对于直线\(y = kx + b\)与曲线\(F(x,y)=0\)相交于两点\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，弦长公式为\(|AB| = \sqrt{1 + k^2}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}\)。

下面来推导弦长公式，设直线方程为\(y = kx + m\)，代入曲线方程\(F(x,y)=0\)，得到一个关于\(x\)的一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)。根据韦达定理，\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2 = \frac{c}{a}\)。

然后计算\((x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-\frac{b}{a})^2 - 4\frac{c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}\)。

而\(y_1 - y_2 = k(x_1 - x_2)\)，((y_1 - y_2)^2 = k^2(x_1 - x_2)^2 = k^2\cdot\frac{b^2 - 4ac}{a^2}\)。

根据两点间距离公式\(|AB| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\)，将上面的结果代入可得\(|AB| = \sqrt{1 + k^2}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}\)。

弦长公式在解决直线与曲线相交问题中非常重要，通过它可以方便地计算出弦长，为进一步的几何分析提供基础。

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