三角函数的辅助角公式大全

诗界网络 2025-12-01 17:40:28

三角函数的辅助角公式大全

在三角函数的学习中，辅助角公式是一个非常重要的工具。它可以将形如\(a\sin x + b\cos x\)的式子转化为\(\sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)\)的形式，(\tan\varphi = \frac{b}{a}\)。

当\(a\gt0\)，\(b\gt0\)时，\(\varphi\)在第一象限；当\(a\lt0\)，\(b\gt0\)时，\(\varphi\)在第二象限；当\(a\lt0\)，\(b\lt0\)时，\(\varphi\)在第三象限；当\(a\gt0\)，\(b\lt0\)时，\(\varphi\)在第四象限。

对于\(\sin x + \sqrt{3}\cos x\)，根据辅助角公式，\(\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\)，\(\tan\varphi = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}\)，则\(\varphi = \frac{\pi}{3}\)，(\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\sin(x + \frac{\pi}{3})\)。

再如，\(3\sin x - 4\cos x\)，\(\sqrt{3^2 + (-4)^2} = 5\)，\(\tan\varphi = \frac{-4}{3}\)，可得\(\varphi = -\arctan\frac{4}{3}\)，(3\sin x - 4\cos x = 5\sin(x - \arctan\frac{4}{3})\)。

辅助角公式在解决三角函数的化简、求值、证明等问题中有着广泛的应用，它能将复杂的三角函数式子简化，方便我们进行后续的计算和分析。

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