正交矩阵定义和性质

诗界网络 2025-12-01 22:30:06

正交矩阵定义和性质

正交矩阵是线性代数中的一个重要概念。

定义方面，若一个实方阵\(A\)满足\(A^TA = AA^T = E\)（\(E\)为单位矩阵），则称\(A\)为正交矩阵。这意味着矩阵\(A\)与其转置矩阵\(A^T\)的乘积为单位矩阵。

从性质来看，正交矩阵具有诸多特点。其一，正交矩阵的行列式的值为\(1\)或\(-1\)。其二，正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即\(A^{-1} = A^T\)。这使得在求解线性方程组等问题时，正交矩阵具有特殊的作用。其三，正交矩阵的列向量（或行向量）是两两正交的单位向量。这一性质在向量空间的正交基等问题中有着广泛的应用。

在几何变换中，正交矩阵可以表示旋转、反射等变换，保持向量的长度和向量之间的夹角不变。

正交矩阵的定义和性质在数学的多个领域都有着重要的应用，是线性代数中不可或缺的一部分。

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