正交矩阵定义和性质

诗界网络 2025-12-01 22:33:15

正交矩阵定义和性质

正交矩阵是线性代数中的一个重要概念。在数学领域中，正交矩阵具有独特的定义和性质。

从定义来看，若一个矩阵\(A\)满足\(A^TA = AA^T = E\)（(E\)为单位矩阵），则称\(A\)为正交矩阵。这意味着正交矩阵的转置与它自身相乘等于单位矩阵。

其性质也十分显著。正交矩阵的行列式的值为\(\pm1\)。这是因为行列式的性质决定了\(\vert A^TA\vert = \vert A\vert\vert A^T\vert = \vert A\vert^2 = 1\)，从而得出\(\vert A\vert = \pm1\)。

正交矩阵的列（行）向量组是单位正交向量组。即列（行）向量的模都为\(1\)，且任意两列（行）向量相互正交。

正交矩阵在许多领域都有广泛的应用，如在几何变换中，正交矩阵可以表示旋转、反射等变换；在信号处理中，它可用于数据的压缩和降噪等。

正交矩阵的定义和性质为线性代数的研究提供了重要的基础和工具，对理解和解决各种数学问题都具有重要意义。

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