对数函数求导公式

诗界网络 2025-12-01 19:36:58

对数函数求导公式

对数函数求导公式是微积分中的重要内容之一。在数学中，对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。对于对数函数\(y = \log_a x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），其求导公式为\((\log_a x)^\prime = \frac{1}{x\ln a}\)。

我们来详细推导一下这个公式。设\(y = \log_a x\)，根据对数的定义可以转化为\(a^y = x\)。然后对等式两边关于\(x\)求导，左边根据复合函数求导法则，\((a^y)^\prime = a^y\ln a \cdot y^\prime\)，右边\(x\)的导数为\(1\)。所以就有\(a^y\ln a \cdot y^\prime = 1\)，再将\(a^y = x\)代入，得到\(x\ln a \cdot y^\prime = 1\)，从而解得\(y^\prime = \frac{1}{x\ln a}\)，这就是对数函数的求导公式。

这个公式在解决很多与对数函数相关的问题中都非常有用，比如求函数的单调性、极值等。它为我们研究对数函数的性质提供了有力的工具。在实际应用中，我们要熟练掌握这个公式，并能灵活运用它来解决各种问题。

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