等比数列前n项和的公式是什么

诗界网络 2025-12-01 20:20:58

等比数列前n项和的公式是什么

等比数列是数学中一个重要的数列类型，它具有独特的性质和广泛的应用。在等比数列中，前 n 项和的公式是一个非常关键的知识点。

等比数列的定义是：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。这个常数称为等比数列的公比，通常用 q 表示。

等比数列前 n 项和的公式为：\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)（(a_1\)为首项，\(q\)为公比，\(n\)为项数）。

这个公式的推导过程如下：

我们设等比数列的前 n 项和为\(S_n\)，则\(S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n - 1}\) ①。

两边同时乘以公比 q，得到\(qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n\) ②。

②式减去①式，可得：\(qS_n - S_n = a_1q^n - a_1\)，即\(S_n(q - 1) = a_1(q^n - 1)\)，从而推导出\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)。

等比数列前 n 项和的公式在解决很多数学问题中都有着重要的作用，例如求等比数列的和、计算复利等。它是等比数列知识体系中的重要组成部分，需要我们熟练掌握。

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