等比数列前n项和的公式是什么

等比数列前n项和的公式是什么

等比数列是数学中一个重要的数列类型,它具有独特的性质和广泛的应用。在等比数列中,前 n 项和的公式是一个非常关键的知识点。

等比数列的定义是:从第二项起,每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。这个常数称为等比数列的公比,通常用 q 表示。

等比数列前 n 项和的公式为:\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)((a_1\)为首项,\(q\)为公比,\(n\)为项数)。

这个公式的推导过程如下:

我们设等比数列的前 n 项和为\(S_n\),则\(S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n - 1}\) ①。

两边同时乘以公比 q,得到\(qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n\) ②。

②式减去①式,可得:\(qS_n - S_n = a_1q^n - a_1\),即\(S_n(q - 1) = a_1(q^n - 1)\),从而推导出\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)。

等比数列前 n 项和的公式在解决很多数学问题中都有着重要的作用,例如求等比数列的和、计算复利等。它是等比数列知识体系中的重要组成部分,需要我们熟练掌握。

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