x分之一的导数是什么

诗界网络 2025-12-01 18:56:59

x分之一的导数是什么

在数学的世界里，求导是一个非常重要的运算。那么对于\(\frac{1}{x}\)这个函数，它的导数是什么呢？我们可以通过导数的定义来推导。根据导数的定义，函数\(f(x)\)在点\(x_0\)处的导数为\(\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)。对于\(f(x)=\frac{1}{x}\)，则\(f(x_0+\Delta x)=\frac{1}{x_0+\Delta x}\)，\(f(x_0)=\frac{1}{x_0}\)。(\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{x_0+\Delta x}-\frac{1}{x_0}}{\Delta x}\)，通分后得到\(\frac{\frac{x_0-(x_0+\Delta x)}{x_0(x_0+\Delta x)}}{\Delta x}=\frac{\frac{-\Delta x}{x_0(x_0+\Delta x)}}{\Delta x}=-\frac{1}{x_0^2}\)。当\(\Delta x\to0\)时，这个极限值就是\(-\frac{1}{x^2}\)。\(\frac{1}{x}\)的导数是\(-\frac{1}{x^2}\)。这是一个很基础但很重要的导数结论，在后续的数学学习中会经常用到。

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