正切两角和差公式及推导过程

诗界网络 2025-11-26 14:42:16

正切两角和差公式及推导过程

在三角函数的学习中，正切两角和差公式是非常重要的一部分。正切两角和公式为\(\tan(\alpha + \beta)=\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}\)，两角差公式为\(\tan(\alpha - \beta)=\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}\)。

推导正切两角和公式时，我们从正弦和余弦的两角和公式出发。因为\(\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)，(\tan(\alpha + \beta)=\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}\)。然后利用正弦和余弦的两角和公式\(\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)，\(\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)，将其代入\(\tan(\alpha + \beta)\)的表达式中，经过化简就可以得到正切两角和公式。

同理，推导正切两角差公式时，只需将两角和公式中的\(\beta\)换成\(-\beta\)，再利用诱导公式\(\tan(-\beta)=-\tan\beta\)进行化简即可。

正切两角和差公式在解决三角函数的相关问题中有着广泛的应用，比如求三角函数值、化简三角函数表达式等。通过熟练掌握这些公式及其推导过程，我们能更好地理解和运用三角函数的知识。

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