等比数列的前n项和公式及推导过程

诗界网络 2025-11-26 13:08:43

等比数列的前n项和公式及推导过程

等比数列是数学中一个重要的数列类型，其前 n 项和公式在解决各种数学问题中有着广泛的应用。

等比数列的定义是：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。这个常数称为等比数列的公比，通常用 q 表示。

等比数列的前 n 项和公式为：\(S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}\)（\(q\neq1\)），(a_1\)为首项，\(n\)为项数。

下面我们来推导等比数列的前 n 项和公式。

设等比数列\(\{a_n\}\)的首项为\(a_1\)，公比为\(q\)，其前 n 项和为\(S_n\)，则\(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n\)。

将上式两边同时乘以 q，得到\(qS_n = a_1q + a_2q + a_3q + \cdots + a_nq\)。

用\(qS_n\)减去\(S_n\)，可得：

\

\begin{align}

qS_n - S_n&=(a_1q + a_2q + a_3q + \cdots + a_nq)-(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n)\\

(q - 1)S_n&=a_nq - a_1\\

S_n&=\frac{a_nq - a_1}{q - 1}

\end{align}

\

又因为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，将其代入上式可得：

\

\begin{align}

S_n&=\frac{a_1q^n - a_1}{q - 1}\\

&=\frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}

\end{align}

\

这就是等比数列的前 n 项和公式。

通过等比数列的前 n 项和公式，我们可以方便地计算等比数列的前 n 项和，为解决各种数学问题提供了有力的工具。

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