点到平面的距离公式高中数学-空间中点到平面的距离公式怎么求?

诗界网络 2025-11-29 20:54:48

点到平面的距离公式高中数学-空间中点到平面的距离公式怎么求?

在高中数学的学习中，空间中点到平面的距离公式是一个重要的知识点。空间中点到平面的距离公式到底怎么求呢？

我们先来看平面的一般式方程 Ax+By+Cz+D=0，以及空间中的一点 P(x₀,y₀,z₀)。根据点到平面距离公式的推导过程，我们可以通过向量的方法来求解。

设平面的法向量为 n=(A,B,C)，向量 PQ 为点 P 到平面上任意一点 Q 的向量。则点 P 到平面的距离 d 就等于向量 PQ 在法向量 n 上的投影的绝对值。

即 d = |PQ·n| / |n| 。PQ·n 表示向量 PQ 与法向量 n 的数量积，|n| 表示法向量 n 的模。

通过这个公式，我们可以将空间中点到平面的距离问题转化为向量的运算问题。在具体解题时，我们需要先求出平面的法向量，然后找到点到平面上的一个点，进而求出向量 PQ，最后代入公式计算出距离。

对于给定的平面方程 2x - 3y + z - 1 = 0 和点 P(1,2,3)，我们先求出法向量 n=(2,-3,1)，然后取平面上一点 Q(0,0,1)，得到向量 PQ = (-1,-2,-2)。代入公式可得 d = |(-1)×2 + (-2)×(-3) + (-2)×1| / √(2² + (-3)² + 1²) = 4 / √14 。

掌握点到平面的距离公式对于解决高中数学中的空间几何问题具有重要意义，通过熟练运用公式，我们可以轻松求解各种相关问题。

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